Question

8．在数列{a_n}中，a_n+1=4a_n-3n²+1，a₁=1，n∈N^*．求a_n．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得a_n+1-a_n=4（a_n-a_n-1）-6n+3，令b_n=a_n+1-a_n，得b_n=4b_n-1-6n+3，进一步可得数列{${b}_{n}-2n-\frac{5}{3}$}是以4为公比的等比数列，求其通项公式代入b_n=a_n+1-a_n，然后利用累加法求a_n．

解答 解：由a_n+1=4a_n-3n²+1，
得a_n=4a_n-1-3（n-1）²+1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=4a_n-4a_n-1-6n+3，
即a_n+1-a_n=4（a_n-a_n-1）-6n+3，
令b_n=a_n+1-a_n，
则b_n=4b_n-1-6n+3，
∴${b}_{n}-2n-\frac{5}{3}=4[{b}_{n-1}-2（n-1）-\frac{5}{3}]$，
则数列{${b}_{n}-2n-\frac{5}{3}$}是以4为公比的等比数列，
∵a₁=1，∴a₂=4×1-3+1=2，
则b₁=a₂-a₁=1，${b}_{1}-2×1-\frac{5}{3}=-\frac{8}{3}$．
∴${b}_{n}-2n-\frac{5}{3}=-\frac{8}{3}•{4}^{n-1}=-\frac{2}{3}•{4}^{n}$，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=2n-\frac{2}{3}•{4}^{n}+\frac{5}{3}$．
则a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2[1+2+…+（n-1）]-$\frac{2}{3}（4+{4}^{2}+…+{4}^{n-1}）$+$\frac{5（n-1）}{3}$+1
=$2×\frac{n（n-1）}{2}$$-\frac{2}{3}×\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$+$\frac{5（n-1）}{3}$+1
=${n}^{2}-n-\frac{2}{9}•{4}^{n}+\frac{5}{3}n+\frac{2}{9}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，属难题．