现有一张长为108cm.宽为acm的长方形铁皮ABCD.准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器.要求材料利用率为100%.不考虑焊接处损失.如图.在长方形ABCD的一个角上剪下一块边长为x(cm)的正方形铁皮.作为铁皮容器的底面.用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面.设长方体的高为y(cm).体积为V(cm3)．(1)求y关于x的函数关系式,(2)求该� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．

现有一张长为108cm，宽为acm（a＜108）的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，在长方形ABCD的一个角上剪下一块边长为x（cm）的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为y（cm），体积为V（cm³）．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）求该铁皮容器体积V的最大值．

分析（1）根据一张长为108cm，宽为acm的长方形铁皮ABCD，可得x²+4xy=108a，进而可确定x与y的关系式；
（2）铁皮盒体积V（x）=x²y，求导函数，讨论a的范围，判断单调性，确定函数的最值．

解答解：（1）由题意得x²+4xy=108a，
即y=$\frac{108a-{x}^{2}}{4x}$，0＜x≤a．
（2）铁皮盒体积V（x）=x²y=x²•$\frac{108a-{x}^{2}}{4x}$=$\frac{1}{4}$（-x³+108ax），0＜x≤a．
V′（x）=$\frac{1}{4}$（-3x²+108a），
令V′（x）=0，得x=6$\sqrt{a}$，
当0＜a≤36，即6$\sqrt{a}$≥a时，在（0，a）上V′（x）＞0，V（x）递增，
可得V（x）_max=V（a）=$\frac{1}{4}$a²（108-a）；
当36＜a＜108，即6$\sqrt{a}$＜a时，在（0，6$\sqrt{a}$）上V′（x）＞0，V（x）递增，
在（6$\sqrt{a}$，a）上V′（x）＜0，V（x）递减．
可得V（x）_max=V（6$\sqrt{a}$）=108a$\sqrt{a}$．
综上可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{a}^{2}（108-a），0＜a≤36}\\{108a\sqrt{a}，36＜a＜108}\end{array}\right.$．

点评本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用：求最值，考查分类讨论思想方法，属于中档题．

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