Question

6．已知函数f（x）=（x²-2x）e^x，关于f（x）的性质，有以下四个推断：
①f（x）的定义域是（-∞，+∞）；
②函数f（x）是区间（0，2）上的增函数；
③f（x）是奇函数；
④函数f（x）在x=2处取得最小值．
其中推断正确的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根据函数的解析式求出f（x）的定义域是R；
②对f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性即可；
③根据奇函数的单调性判断f（x）不是奇函数；
④根据函数f（x）的单调性判断f（x）在x=2处不能取得最小值．

解答 解：对于①，函数f（x）=（x²-2x）e^x，其定义域是（-∞，+∞），正确；
对于②，f′（x）=（x²-2）e^x，令f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{2}$，
∴x∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）时f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（$\sqrt{2}$，+∞）时f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴函数f（x）在区间（0，2）上不是增函数，②错误；
对于③，f（-x）=[（-x）²-2（-x）]e^-x=（x²+2x）e^-x
≠（x²-2x）e^x=-f（x），∴f（x）不是奇函数，③错误；
对于④，f（x）在（-∞，$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增，
在x∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）上是单调减函数，
∴函数f（x）在x=2处不能取得最小值，④错误；
综上，正确的命题个数是1．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了导数的综合应用问题，是中档题．