Question

11．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，直线l是否过定点，若过，求出该定点，若不过，试说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的准线方程可知：$\frac{p}{2}$=1，即p=2．即可求得抛物线方程；
（Ⅱ）设直线l方程，my=x+n，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得n的值，可知直线l过定点．

解答 解：（Ⅰ）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，
所以$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
∴抛物线的标准方程为y²=4x；
（Ⅱ）解：假设直线l过定点，设l：my=x+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{my=x+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my+4n=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4n．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，可得x₁x₂+y₁y₂=（my₁-n）（my₂-n）+y₁y₂
=（1+m²）y₁y₂-mn（y₁+y₂）+n²=4n（1+m²）-4m²n+n²
=4n+n²=-4，解得n=-2，
则直线l：my=x-2过定点（2，0）．

点评 本题考查抛物线的方程和简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．