Question

1．已知双曲线方程为3x²-y²=3．
（1）求以定点A（2，1）为中点的弦所在的直线方程；
（2）以定点B（1，1）为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设以定点A（2，1）为中点的弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），运用中点坐标公式和直线的斜率公式，运用点差法可得所求直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程；
（2）假设定点B（1，1）为中点的弦存在，设以定点B（1，1）为中点的弦的端点坐标为（x₃，y₃），（x₄，y₄），运用中点坐标公式和直线的斜率公式，结合点差法，求得直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程，代入双曲线的方程，检验判别式是否大于0，即可判断是否存在．

解答 解：（1）设以定点A（2，1）为中点的弦的端点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，①
由端点在双曲线上，可得3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
两式相减可得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
将①代入上式，
可得以定点A（2，1）为中点的弦所在的直线斜率为
$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=6，
则以定点A（2，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=6（x-2），
即为y=6x-11，
代入双曲线的方程可得33x²-132x+124=0，
由△=132²-4×33×124＞0，可得所求直线存在，
即有所求直线的方程为y=6x-11；
（2）假设定点B（1，1）为中点的弦存在，
设以定点B（1，1）为中点的弦的端点坐标为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
可得x₃+x₄=2，y₃+y₄=2，②
由端点在双曲线上，可得3x₃²-y₃²=3，3x₄²-y₄²=3，
两式相减可得3（x₃-x₄）（x₃+x₄）=（y₃-y₄）（y₃+y₄），
将②代入上式，
可得以定点B（1，1）为中点的弦所在的直线斜率为
$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{3（{x}_{3}+{x}_{4}）}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=3，
则以定点B（1，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=3（x-1），
即为y=3x-2，
代入双曲线的方程可得6x²-12x+7=0，
由△=12²-4×6×7=-24＜0，可得所求直线不存在，
以定点B（1，1）为中点的弦不存在．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，结合韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．