Question

13．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）-1＜0，且f（1）=1，则不等式f（2x-1）＞ln（2x-1）+1的解集是（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-lnx，求出函数的单调性，结合g（1）=f（1），将f（2x-1）＞ln（2x-1）+1，转化为g（2x-1）＞g（1），求出x的范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-lnx，
则g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{x}$，
∵xf′（x）-1＜0，
∴f′（x）＜$\frac{1}{x}$，
∴g′（x）＜0，
故g（x）在（0，+∞）递减，
而g（1）=f（1）=1，
由f（2x-1）＞ln（2x-1）+1，
得g（2x-1）＞g（1），
故0＜2x-1＜1，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．