Question

20．下列关于函数f（x）=$\frac{\sqrt{2-2cos2x}}{cosx}$的描述正确的是（　　）

• A． 在（-$\frac{π}{2}$，0]上递减
• B． 在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上最小值为0
• C． 周期为π
• D． 在（-$\frac{π}{2}$，0]上递增

Answer 1

分析 运用二倍角公式和同角三角函数的关系式，化简f（x），再由正切函数的图象和性质，即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=$\frac{\sqrt{2-2cos2x}}{cosx}$=$\frac{\sqrt{2×2si{n}^{2}x}}{cosx}$
=$\frac{2|sinx|}{cosx}$，
当0≤sinx＜1时，f（x）=$\frac{2sinx}{cosx}$=2tanx；
当-1＜sinx≤0时，f（x）=-2tanx．
当x∈（-$\frac{π}{2}$，0]时，f（x）=-2tanx递减，故A正确，D错误；
若周期为π，则f（x+π）=f（x）成立，
但f（x+π）=$\frac{2|sin（x+π）|}{cos（x+π）}$=-2•$\frac{|sinx|}{cosx}$=-f（x），故C错误；
在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2tanx，\frac{π}{2}＜x≤π}\\{-2tanx，π＜x＜\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
可得f（x）的值域为（-∞，0]，即有f（x）的最大值为0，故B错误．
故选：A．

点评 本题考查正切函数的图象和性质，考查转化思想和分类讨论思想方法，考查判断和化简能力，属于中档题．