Question

2．△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，满足2sinAsinBcosC+cos2C=1，若a²+b²=8，则边c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 利用二倍角化简，根据正余弦定理即可求解c的值．

解答 解：∵2sinAsinBcosC+cos2C=1，
∴2sinAsinBcosC=1-cos2C，即2sinAsinBcosC=2sin²C．
由正弦定理可得：2abcosC=2c²
那么cosC=$\frac{{c}^{2}}{ab}$．
余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²=8-2ab×$\frac{{c}^{2}}{ab}$
可得c=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和推理能力与计算能力，属于中档题．