Question

7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+c=5，b=$\sqrt{15}$，cosB=$\frac{1}{4}$．
（1）求a，c的值；
（2）求cosA的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由余弦定理可得理b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，代入数据计算可得ac=4，又由a+c=5，解可得a、c的值，即可得答案；
（2）有（1）可得a、c的值，由余弦定理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，△ABC中a+c=5，b=$\sqrt{15}$，cosB=$\frac{1}{4}$；
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
即15=25-2ac-$\frac{1}{2}$ac，
解可得ac=4，
又由a+c=5，
解可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=1}\end{array}\right.$；
（2）当a=1、c=4时，有b=$\sqrt{15}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$；
当a=4、c=1时，有b=$\sqrt{15}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0．

点评 本题考查正、余弦定理，涉及三角函数的几何计算，关键是掌握余弦、正弦定理的形式．