Question

20．在△ABC中，A=2B，sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（I）求cosA的值．
（II）若b=2，求边a，c的长．

Answer 1

分析 （I）根据正弦定理和同角三角函数关系式即可求cosA的值．
（II）根据（I）cosA的值，正弦定理和余弦定理可得答案．

解答 解：（I）A=2B，sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
正弦定理，可得sinA=sin2B，即sinA=2sinBcosB=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$．
那么cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}=\frac{3}{5}$．
（II）b=2，sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
sinA=$\frac{4}{5}$，
正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
可得：a=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$
余弦定理：a²=c²+b²-2bccosA．
即$\frac{64}{5}={c}^{2}+4-4c×\frac{3}{5}$
可得c=$\frac{22}{5}$．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力．属于中档题．