Question

8．已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意的正整数n，都有a_n²=2S_n-a_n，其中S_n是数列{a_n} 的前n 项和．
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1 λ•2^a_n （ λ 为非零整数），试确定λ 的值，使得对任意正整数n，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n²=2S_n-a_n，得当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，两式作差得数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列，则数列{a_n} 的通项公式可求；
（Ⅱ）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•${2}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．要使b_n+1＞b_n成立．即${b}_{n+1}-{b}_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}$+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ•2ⁿ=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．可得（-1）^n-1λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．然后分n为奇数，n为偶数讨论即可求得λ 的值．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，2S₁=a₁²+a₁．∴a₁=1，
当n≥2时，由a_n²=2S_n-a_n，得a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，
两式作差并整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）∵a_n=n，∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•${2}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．
要使b_n+1＞b_n成立．即${b}_{n+1}-{b}_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}+（-1）^{n}λ•{2}^{n+1}$-（-1）^n-1λ•2ⁿ
=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．
可得（-1）^n-1λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．
①当n为奇数时，λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，即λ＜$（\frac{3}{2}）^{0}$=1；
②当n为偶数时，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，∴λ＞-$\frac{3}{2}$．
∴-$\frac{3}{2}$＜λ＜1，且λ为非零整数，
∴λ=-1．

点评 本题考查了数列的递推式、数列不等式的恒成立问题，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．