Question

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c-b）cosA．
（1）求sinA；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，且△ABC的面积为$\sqrt{2}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA；
（2）根据（1）的结论，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可求b+c的值．

解答 解：（1）∵acosB=（3c-b）cosA．
∴sinAcosB=3sinCcosA-sinBcosA
即sinAcosB+sinBcosA=3cosAsinC
∴sinC=3cosAsinC
∵0＜C＜π，sinC≠0．
∴1=3cosA，即cosA=$\frac{1}{3}$，
那么sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）△ABC的面积为$\sqrt{2}$，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{2}$，
可得bc=3
∵a=2$\sqrt{2}$，
由余弦定理：可得${b}^{2}+{c}^{2}-\frac{2}{3}bc=8$
∴$（b+c）^{2}-\frac{8}{3}bc=8$
可得：（b+c）²=16
故得a=2$\sqrt{2}$，且△ABC的面积为$\sqrt{2}$，则b+c的值为4．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式的灵活运用．属于基础题．