Question

14．已知点F（1，0），直线l：x=-1，直线l′垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交直线l′于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知轨迹C上的不同两点M，N与P（1，2）的连线的斜率之和为2，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意画出图形，可得点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，则点Q的轨迹C的方程可求；
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=my+a，联立直线方程与抛物线方程，写出MP、NP所在直线的斜率，结合根与系数的关系求得a值，可得直线MN过定点．

解答 （Ⅰ）解：依题意得|QP|=|QF|，即Q到直线l：x=-1的距离与到点F的距离相等，
∴点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
设抛物线方程为y²=2px（p＞0），则p=2，
即点Q的轨迹C的方程是y²=4x；
（Ⅱ）证明：设直线MN的方程为x=my+a，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+a}\end{array}\right.$，得y²-4my-4a=0．
∴y₁y₂=-4a，
k_MP=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，同理得k_NP=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
∴$\frac{4}{{y}_{1}+2}$+$\frac{4}{{y}_{2}+2}$=2．
化简得：y₁y₂=4，
又y₁y₂=-4a，∴a=-1，
∴直线MN过定点（-1，0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查灵活运算能力，是中档题．