Question

4．若对于任意的实数t，函数f（x）=（x-t）³+（x-e^t）³-3ax在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$∞，\frac{1}{2}$]
• B． （$-∞，\frac{1}{2}$）
• C． （$-∞，\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． （$-∞，\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 利用f（x）=（x-t）³+（x-e^t）³-3ax在R上都是增函数，可得f′（x）=3（x-t）²+3（x-e^t）²-3a≥0在R上恒成立，分离参数a≤（x-t）²+（x-e^t）²，再求出右边的最小值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=（x-t）³+（x-e^t）³-3ax在R上都是增函数，
∴f′（x）=3（x-t）²+3（x-e^t）²-3a≥0在R上恒成立，
∴a≤（x-t）²+（x-e^t）²，
（x-t）²+（x-e^t）²=2（x-$\frac{t{+e}^{t}}{2}$）²+$\frac{{（t{-e}^{t}）}^{2}}{2}$≥$\frac{{（t{-e}^{t}）}^{2}}{2}$，
令y=t-e^t，则y′=1-e^t，
∴（-∞，0）上，y′＞0，（0，+∞）上，y′＜0，
∴t=0时，y_max=-1，
∴$\frac{{（t{-e}^{t}）}^{2}}{2}$的最小值为$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．