Question

8．设等差数列{a_n}的前项和为S_n，且a₂=4，S₆=42，数列{b_n}的前项和为T_n，且b_n=$\frac{1}{S_n}$．
（Ⅰ） 求a_n，S_n；
（Ⅱ） 证明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等差数列{a_n}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和前n项和；
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得T_n，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得到所求结论．

解答 解：（Ⅰ）等差数列{a_n}的公差设为d，
a₂=4，S₆=42，可得a₁+d=4，6a₁+15d=42，
解得a₁=d=2，
则a_n=2+2（n-1）=2n；S_n=$\frac{1}{2}$n（2+2n）=n（n+1）；
（Ⅱ）证明：b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$，
由1-$\frac{1}{n+1}$在n∈N*上递增，可得T_n≥T₁=$\frac{1}{2}$，
且T_n＜1．
则$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．