Question

13．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acsinB=4sinA，且cosA=$\frac{7}{8}$．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=$\sqrt{10}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出bc，根据cosA=$\frac{7}{8}$．求出sinA，可得△ABC的面积；
（2）a=$\sqrt{10}$，利用余弦定理求出b+c，可得△ABC的周长．

解答 解：（1）已知acsinB=4sinA，
由正弦定理，得abc=4a，
∴bc=4．
∵cosA=$\frac{7}{8}$．
∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
△ABC的面积：S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（2）∵a=$\sqrt{10}$，cosA=$\frac{7}{8}$．bc=4．
由余弦定理：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$．
∴${b}^{2}+{c}^{2}=\frac{7}{4}bc+10$．
∴（b+c）²=25．即b+c=5．
故得△ABC的周长为：a+c+b=5+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查△ABC的面积的求法，正余弦定理的合理运用．属于基础题．