Question

9．若f（x）=log₂$\frac{2+mx}{2-nx}$为x∈（-1，1）的奇函数．
（1）求m，n的值；
（2）若x$∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$，f（x）＞k恒成立，求k的范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=log₂$\frac{2+mx}{2-nx}$为x∈（-1，1）的奇函数，可知mn＞0，且-1与1是方程（2+mx）（2-nx）=0的两根，从而可求得m，n的值；
（2）依题意，f（x）＞k恒成立?f（x）_min＞k（$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{2}$），分类讨论，①当m=n=2时，f（x）=log₂$\frac{2+2x}{2-2x}$=log₂$\frac{1+x}{1-x}$在区间$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上单调递增，可求得f（x）_min=log₂2=1，可得k＜1；②当m=n=-2时，利用函数f（x）=log₂$\frac{2-2x}{2+2x}$=log₂$\frac{1-x}{1+x}$在区间$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上单调递减，可得f（x）_min=-log₂3，故k＜-log₂3；综上可得k的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂$\frac{2+mx}{2-nx}$为x∈（-1，1）的奇函数，
∴mn＞0，且-1与1是方程（2+mx）（2-nx）=0的两根，
解得：m=n=2或m=n=-2；
（2）若x$∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$，f（x）＞k恒成立?f（x）_min＞k（$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{2}$），
①当m=n=2时，f（x）=log₂$\frac{2+2x}{2-2x}$=log₂$\frac{1+x}{1-x}$=log₂（$\frac{2}{1-x}$-1）在区间$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上单调递增，
故f（x）_min=log₂$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=log₂2=1，
所以，k＜1；
②当m=n=-2时，f（x）=log₂$\frac{2-2x}{2+2x}$=log₂$\frac{1-x}{1+x}$在区间$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上单调递减，
故f（x）_min=log₂$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=log₂$\frac{1}{3}$=-log₂3，
所以，k＜-log₂3；
综上所述，k＜-log₂3．

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查函数奇偶性的性质，考查等价转化思想与函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．