Question

8．已知函数f（x）=2x³-3x²-ax+8，在x=-1处取得极值．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由已知可得f′（-1）=12-a=0，求得a值，则函数解析式可求，然后分别求出f′（1），f（1）的值，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程可求；
（Ⅱ）由f′（x）=0求出x值，列关于x、f′（x）、f（x）的关系表，由表格可得函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=6x²-6x-a，
由f′（-1）=12-a=0，解得a=12，
则f（x）=2x³-3x²-12x+8，
经验证，当a=12时，x=-1是函数f（x）的一个极值点，
∴a=12符合题意．
则f′（x）=6x²-6x-12，
∴f′（1）=-12，又f（1）=-5，
∴函数f（x）在点（1，-5）处的切线方程为：y+5=-12（x-1），
即12x+y-7=0；
（Ⅱ）f′（x）=0时，x=-1或x=2．
列关于x、f′（x）、f（x）的关系表：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-37	增函数	15	减函数	-12	增函数	-1

可知函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值为：f（-1）=15，最小值为：f（-3）=-37．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及其最值的求法，是中档题．