Question

9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C=$\frac{π}{3}$，c=$\sqrt{3}$．当$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$取得最大值时，$\frac{b}{a}$的值为（　　）

• A． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据正弦定理用A表示出b，代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccosA，根据三角恒等变换化简得出当$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$取最大值时A的值，再计算sinA，sinB得出答案．

解答 解：∵C=$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{2π}{3}$-A，
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b=2sin（$\frac{2}{3}π$-A）=$\sqrt{3}$cosA+sinA，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\sqrt{3}$bcosA=3cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A）+$\frac{3}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$，
∵A+B=$\frac{2π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴当2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即A=$\frac{π}{12}$时，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$取得最大值，
此时，B=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{7π}{12}$
∴sinA=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
sinB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=2+$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角恒等变换，属于中档题．