Question

17．设f₁（x）=sinx，定义f_n+1（x）为f_n（x）的导数，即f${\;}_{n+{1}_{\;}}$（x）=f_n′（x），n∈N*，若△ABC的内角A满足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₈（A）=0，则cosA的值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据导数公式直接进行求导，得到函数f_n（x）具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．

解答 解：∵f₁（x）=sinx，f_n+1（x）=f′_n（x），
∴f₂（x）=f′₁（x）=cosx，
f₃（x）=f′₂（x）=-sinx，
f₄（x）=f'₃（x）=-cosx，
f₅（x）=f′₄（x）=sinx，
f₆（x）=f′₅（x）=cosx，
∴f_n+1（x）=f′_n（x），具备周期性，周期性为4．
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=cosx-sinx+sinx-cosx=0，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₈（A）=0，
∴f₁（A）+f₂（A）=sinA+cosA=0，
∴A=135°，故cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查导数的计算，利用条件得到函数具备周期性是解决本题的关键，属于中档题．