Question

20．在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必需且只需在其中选做一题．设甲、乙、丙3名考生选做每道题的可能性均为$\frac{1}{2}$，且各人的选择相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲、乙2名考生至少有1人选做第23题的概率；
（Ⅱ）设这3名考生中选做第22题的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （I）利用相互独立事件的概率公式计算甲乙都不选做23题的概率，再利用概率的性质得出答案；
（II）根据二项分布的概率公式得出分布列，利用数学期望公式得出数学期望．

解答 解：（I）设事件A为“甲选做23题”，事件B为“乙选做23题”，则P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，
∴甲乙都没有选做23题的概率为P（$\overline{A}\overline{B}$）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴甲、乙2名考生至少有1人选做第23题的概率为1-P（$\overline{A}\overline{B}$）=$\frac{3}{4}$．
（II）ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{1}{2}$），
∴P（ξ=0）=（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，P（ξ=3）=（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴E（ξ）=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算，二项分布，属于中档题．