Question

18．已知p：-1≤x≤1，q：a≤e^x≤b，其中a，b为实数．
（1）若p是q的充要条件，求ab的值；
（2）若a=1，b=e²，且p，q中恰有一个为真命题，求实数x的范围．

Answer 1

分析 （1）可得a=e^-1，b=e¹，即ab=1．                                        
（2）由题意得q：1≤e^x≤e²，即q：0≤x≤2，
可得p，q中恰有一个为真命题，
分p真，q假； p假，q真求实数x的范围即可．

解答 解：（1）∵p：-1≤x≤1，且p是q的充要条件，
∴q等价于e^-1≤e^x≤e¹，…（3分）
∴a=e^-1，b=e¹，∴ab=1．                                                        …（6分）
（2）由题意得q：1≤e^x≤e²，即q：0≤x≤2，
∵p，q中恰有一个为真命题，…（7分）
当p真，q假时，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x＜0或x＞2}\end{array}}\right.$即-1≤x＜0，…（9分）
当p假，q真时，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1或x＞1}\\{0≤x≤2}\end{array}}\right.$即1＜x≤2，…（11分）
综上所述：实数x的范围为[-1，0）∪（1，2]．                             …（12分）

点评 本题考查了命题真假的应用，充要条件的应用，属于中档题．