Question

4．已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．
（2）若f（x）在[1，2]单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由f′（-1）=0求得a值，进一步得到导函数的零点，得到函数的极值点，列出x、f′（x）、f（x）的关系表，由表可求得f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）把f（x）在[1，2]单调递增，转化为f′（x）=3x²-2ax-4≥0在[1，2]上恒成立，分离参数a后利用导数求最值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-4）（x-a）=x³-ax²-4x+4a，
∴f′（x）=3x²-2ax-4．
由f′（-1）=3+2a-4=0，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=（x²-4）（x-$\frac{1}{2}$），f′（x）=3x²-x-4=0，
由f′（x）=0，得x₁=-1，${x}_{2}=\frac{4}{3}$，
列出x、f′（x）、f（x）的关系表：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，$\frac{4}{3}$）	$\frac{4}{3}$	（$\frac{4}{3}$，2）	2
f′（x）		+		-		+
f（x）	0	增函数	$\frac{9}{2}$	减函数	$-\frac{50}{27}$	增函数	0

由表可知，$f（x）_{max}=\frac{9}{2}$，$f（x）_{min}=-\frac{50}{27}$．
∴f（x）在[-2，2]上的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为-$\frac{50}{27}$；
（2）∵f（x）在[1，2]单调递增，
∴f′（x）=3x²-2ax-4≥0在[1，2]上恒成立，
即a≤$\frac{3{x}^{2}-4}{2x}$在[1，2]上恒成立，
令g（x）=$\frac{3{x}^{2}-4}{2x}$，则g′（x）=$\frac{12{x}^{2}-6{x}^{2}+8}{4{x}^{2}}$＞0在[1，2]上恒成立，
∴g（x）=$\frac{3{x}^{2}-4}{2x}$在[1，2]上为增函数，则$g（x）_{min}=g（1）=-\frac{1}{2}$．
∴a$≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，是中档题．