Question

14．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过焦点垂直长轴的弦长为1．
（I）求椭圆E的方程；
（II）椭圆E的右焦点为F，⊙O：x²+y²=1的切线MN与椭圆E交于M，N两点（均在y轴的右侧），求△MNF内切圆的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．（x₁＞0，x₂＞0），可得y₁²-1=-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$．设切点为Q．连接OM，OQ，在△OMQ中，丨MQ丨²=x₁²+y₁²-1，可得|MQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，|BQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，可得|MN|+|MF|+|NF|=4．△MNF的周长是定值4．分类讨论：切线MN⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程解得y，可得△MNF的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|•|$\sqrt{3}$-1|．
切线MN与x轴不垂直时，设切线MN的方程为：my+t=x，则$\frac{|t|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，化为：t²=1+m²．直线MN的方程与椭圆方程联立化为：（m²+4）y²+2tmy+t²-4=0，利用根与系数的关系可得|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$．点F到直线MN的距离d．可得△MNF的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|•d．对t分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出S的最大值．S最大时，可得内切圆的半径r最大，由$\frac{1}{2}$×4r=S_max，可得r的最大值，可得：△MNF内切圆的面积的最大值．

解答 解：（I）由题意可得：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得：a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
∴y₁²-1=-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$．设切点为Q．
连接OM，OQ，在△OMQ中，丨MQ丨²=x₁²+y₁²-1=$\frac{3}{4}$x₁²，
∴|MQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁，
同理，|BQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂，
∴|MN|=|MQ|+|NQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁+x₂），
∴|MN|+|MF|+|NF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁+x₂）+2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁+2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂=4．
∴△MNF的周长是定值4．
切线MN⊥x轴时，把x=1代入椭圆方程解得y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴|MN|=$\sqrt{3}$，∴△MNF的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|•|$\sqrt{3}$-1|=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
切线MN与x轴不垂直时，设切线MN的方程为：my+t=x，则$\frac{|t|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，化为：t²=1+m²．|t|≥1．
直线MN的方程与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{my+t=x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（m²+4）y²+2tmy+t²-4=0，
△＞0，∴y₁+y₂=$-\frac{2tm}{{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$，
∴|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（-\frac{2tm}{{m}^{2}+4}）^{2}-4×\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{3（1+{m}^{2}）}}{{m}^{2}+4}$．
点F到直线MN的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-t|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴△MNF的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{2\sqrt{3}|\sqrt{3}-t|}{{m}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{3}|\sqrt{3}-t|}{{t}^{2}+3}$．（t≠$\sqrt{3}$）．
当t$＞\sqrt{3}$时，S=$\frac{2\sqrt{3}（t-\sqrt{3}）}{{t}^{2}+3}$，S′=$\frac{-2\sqrt{3}（{t}^{2}-2\sqrt{3}t-3）}{（{t}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{-2\sqrt{3}[t-（\sqrt{3}-\sqrt{6}）][t-（\sqrt{3}+\sqrt{6}）]}{（{t}^{2}+3）^{2}}$，
可知：t=$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$时，S取得最大值$\sqrt{2}$-1．可知：$\sqrt{2}$-1＜$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
当t≤-1，或1≤t＜$\sqrt{3}$时，S=-$\frac{2\sqrt{3}（t-\sqrt{3}）}{{t}^{2}+3}$，S′=$\frac{2\sqrt{3}[t-（\sqrt{3}-\sqrt{6}）][t-（\sqrt{3}+\sqrt{6}）]}{（{t}^{2}+3）^{2}}$．
而S（-1）=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，S（1）=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
可知：t=-1时，S取得最大值$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．可知：$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$＞$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
可知：此时内切圆的半径r最大，由$\frac{1}{2}$×4r=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，可得r=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
可得：△MNF内切圆的面积的最大值为πr²=$π×（\frac{3+\sqrt{3}}{4}）^{2}$=$\frac{6+3\sqrt{3}}{2}$π．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．