Question

1．数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，${S_n}=\frac{3}{2}-{a_n}$，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用数列当n≥2时，${S_n}=\frac{3}{2}-{a_n}$，求出递推关系式，判断数列是等比数列，然后求解通项公式．

解答 解：由${S_n}=\frac{3}{2}-{a_n}$，当n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{3}{2}-{a_{n-1}}$，
两式相减，a_n=-a_n+a_n-1，
所以${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}\;\;（n≥2）$，又${S_2}=\frac{3}{2}-{a_2}=1+{a_2}$，
解得：${a_2}=\frac{1}{4}$，
所以当n≥2时，${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=\frac{1}{4}×{（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，
所以${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n=1\\{（{\frac{1}{2}}）^n}\;\;\;\;\;n≥2\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 数列的通项a_n或前n项和S_n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．