Question

1．复数z满足|z-4i|-|z+4i|=4，则z在复平面上对应点的轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$（y＜0）．

Answer 1

分析 由|z-4i|-|z+4i|=4，得z在复平面上对应的点满足到（0，4）的距离减去到（0，-4）的距离为常数4，然后由双曲线定义得答案．

解答 解：由|z-4i|-|z+4i|=4，得
z在复平面上对应的点满足到（0，4）的距离减去到（0，-4）的距离为常数4，
则其轨迹是以（0，4）和（0，-4）为焦点得双曲线的下支，
其中2a=4，则a=2，2c=8，c=4，
∴b²=c²-a²=12，
∴轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$（y＜0）．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{12}=1$（y＜0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．