Question

7．已知函数y=f（x）是定义在[-5，0）∪（0，5]上的偶函数，且当x∈（0，5]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x（0＜x＜2）}\\{-{x}^{2}+8x-15（2≤x≤5）}\end{array}\right.$若函g（x）=f（x）-kx+2有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]∪[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）．

Answer 1

分析 由已知函数解析式画出函数图象，把g（x）=f（x）-kx+2有三个不同的零点转化为y=f（x）的图象与y=kx-2的图象有3个不同交点求解．

解答 解：利用函数为偶函数作出图象如图：

函数g（x）=f（x）-kx+2有三个不同的零点，即y=f（x）与y=kx-2有3个不同交点，
直线y=kx-2恒过定点（0，-2），当该直线过（0，-2）与（5，0）时，直线斜率最小，满足题意，
此时k=$\frac{-2-0}{0-5}=\frac{2}{5}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{y=-{x}^{2}+8x-15}\end{array}\right.$，得x²+（k-8）x+13=0．
由△=（k-8）²-52=0，得k=8-2$\sqrt{13}$或k=8+2$\sqrt{13}$（舍）．
∴当k＞0时，满足条件的k的取值范围是[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）；
由对称性可得，当k＜0时，满足条件的k的取值范围是（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]．
综上，实数k的取值范围是（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]∪[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）．
故答案为：（-8+2$\sqrt{13}$，-$\frac{2}{5}$]∪[$\frac{2}{5}$，8-2$\sqrt{13}$）．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．