Question

2．已知函数f（x）=2^x的反函数为y=g（x），
（Ⅰ）若函数y=g（4-bx）在[1，+∞）上有最小值为3，求b的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象经过点（6，a+1），且关于x的方程2^ax-9^x-m=0在区间[-1，1]上有解，求m的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=9^x-k•3^x+1（x≤0）有最小值-1，求k的值．

Answer 1

分析 由题意得g（x）=log₂x．
（Ⅰ）y=g（4-bx）=log₂（4-bx），令t=4-bx，由y=log₂t在（0，+∞）上为增函数，得t=4-bx，在[1，+∞）上也应为增函数，且t_min=8，即可得出．
（Ⅱ）由f（x）=2^x的图象经过点（a+1，6）得2^a+1=6，可得2^a=3，令h（x）=2^ax-9^x，可得$h（x）={3^x}-{9^x}=-{（{3^x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$，又x∈[-1，1]，进而得出．
（Ⅲ）令t=3^x（0＜t≤1），$u（t）={t^2}+kt+1={（t+\frac{k}{2}）^2}-\frac{k^2}{4}-1$，对k分类讨论即可得出．

解答 解：由题意得g（x）=log₂x．
（Ⅰ）y=g（4-bx）=log₂（4-bx），令t=4-bx，由y=log₂t在（0，+∞）上为增函数，
得t=4-bx在[1，+∞）上也应为增函数，且t_min=8，即$\left\{\begin{array}{l}b＜0\\ 4-b=8\end{array}\right.$得b=-4…（6分）
（Ⅱ）由f（x）=2^x的图象经过点（a+1，6）得2^a+1=6⇒2^a=3，…（8分）
令h（x）=2^ax-9^x，则$h（x）={3^x}-{9^x}=-{（{3^x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$，
又x∈[-1，1]，得${3^x}∈[{\frac{1}{3}\;，\;3}]$，（10分）
∴$h（x）∈[{-6\;，\;\frac{1}{4}}]$即$m∈[{-6\;，\;\frac{1}{4}}]$…（12分）
（Ⅲ）令t=3^x（0＜t≤1），$u（t）={t^2}+kt+1={（t+\frac{k}{2}）^2}-\frac{k^2}{4}-1$
若$0＜-\frac{k}{2}＜1$时，即-2＜k＜0，$u{（t）_{min}}=u（-\frac{k}{2}）=-\frac{k^2}{4}-1=-1$，得k=0，舍去；
若$-\frac{k}{2}≥1$时，即k≤-2，u（t）_min=u（1）=-1，得k=-3．
综上，k=-3．

点评 本题考查了函数的单调性、换元法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．