Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB=60°，△PAD为正三角形，PB=$\sqrt{6}$．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）E为线段PB上的点，平面PAD与平面ACE所成锐二面角为30°，$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PB}$，求出λ的值．

Answer 1

分析 （1）由底面ABCD为菱形，且E为AD中点，∠DAB=60°，可得PF=BF=$\sqrt{3}$，可得PB²=PF²+BF²，PF⊥BF，即平面PAD⊥平面ABCD；
（2）建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，$\sqrt{3}λ$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），求出平面ABCD和PAD的法向量，即可求解．

解答 （1）证明：取AD中点F，连接PF，FB，∵底面ABCD为边长为2的菱形，△PAD为正三角形，∴PF⊥AD，PF=$\sqrt{3}$
∵∠DAB=60°，△PAD为正三角形，∴BF⊥AD，BF=$\sqrt{3}$
∵$PB=\sqrt{6}$，∴PB²=PF²+BF²，∴PF⊥BF，
∴BF⊥面ABCD，即平面PAD⊥平面ABCD；
（2）如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，$\sqrt{3}λ$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$）
设平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AC}=（-3，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，\sqrt{3}λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-3x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+\sqrt{3}λy+\sqrt{3}（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$，\frac{1-3λ}{\sqrt{3}（1-λ）}$）
易得平面PAD的法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$
cos30°=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{1+3+（\frac{1-3λ}{\sqrt{3}（1-λ）}）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．