Question

9．已知函数f（x）=lnx-$\frac{x-a}{x}$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），
（Ⅲ）比较：（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，令t=x+1，则x=t-1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞$\frac{t-1}{t}$，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）根据$\frac{ln（x+1）}{x}$＜1，令x=$\frac{1}{100}$，得到（1+$\frac{1}{x}$）ln（x+1）＞1，判断大小即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，
所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，
令t=x+1，则x=t-1，由x＞0得t＞1，
所以不等式ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$（x＞0）等价于：lnt＞$\frac{t-1}{t}$，
即：lnt-$\frac{t-1}{t}$＞0（t＞1），
由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt-$\frac{t-1}{t}$在（1，+∞）上单调递增，
所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$；
②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，
令h（x）=ln（x+1）-x，则h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=$\frac{-x}{x+1}$，所以h'（x）＜0，
所以函数h（x）=ln（x+1）-x在（0，+∞）上为减函数，
所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．
由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，$\frac{ln（x+1）}{x}$＜1，
所以令x=$\frac{1}{100}$，得100×ln（$\frac{1}{100}$+1）＜1，即ln（$\frac{101}{100}$）¹⁰⁰＜1，
所以（$\frac{101}{100}$）¹⁰⁰＜e；
又因为$\frac{ln（x+1）}{x}$＞$\frac{1}{x+1}$（x＞0），所以（1+$\frac{1}{x}$）ln（x+1）＞1，
令x=$\frac{1}{99}$得：100×ln$\frac{100}{99}$＞1，所以ln（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰＞1，从而得（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰＞e．
所以（ $\frac{101}{100}$）¹⁰⁰＜（$\frac{100}{99}$）¹⁰⁰．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．