Question

13．已知f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1．
（1）求函数f（x）的单调区间和最值；
（2）若正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n²+a_n，若不等式${e^{k（{a_n}-1）}}$≥a_n对任意n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；
（2）问题转化为不等式${e^{k（{a_n}-1）}}$≥a_n，得到k（n-1）≥lnn，①讨论当n=1时，不等式k（n-1）≥lnn恒成立，②当n≥2时，不等式k≥$\frac{lnn}{n-1}$恒成立，令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，（x≥2），根据函数的单调性，求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1的定义域为（0，+∞），
且f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
故函数f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞），
故f（x）_min=f（1）=0，无最大值；
（2）当n=1时，2a₁=${{a}_{1}}^{2}$+a₁，∴a₁=1，
∵2S_n=a_n²+a_n，∴2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
两式作差得：2a_n=${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$+a_n-a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，（n≥2），
数列{a_n}为正项数列，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
即数列{a_n}为等差数列，∴a_n=n，
不等式${e^{k（{a_n}-1）}}$≥a_n，即为e^k（n-1）≥n，
同时取对数，k（n-1）≥lnn，
当n=1时，不等式k（n-1）≥lnn恒成立，
当n≥2时，不等式k≥$\frac{lnn}{n-1}$恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，（x≥2），
求导g′（x）=$\frac{-（lnx+\frac{1}{x}-1）}{{（x-1）}^{2}}$，
由（1）得：lnx+$\frac{1}{x}$-1≥0，∴g′（x）≤0，
即g（x）在[2，+∞）单调递减，
∴g（x）_max=g（2）=ln2，
∴k≥g（x）_max=ln2，
综上，∴k≥ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及数列问题，是一道综合题．