Question

已知函数f（x）=Acosωx（ω＞0）的部分图象如图所示，且∠MQP=

π

6

，MQ=2

3

（1）求MP的长；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由图知，MP=PN=NQ，∠MQP=

π

6

，MQ=2

3

，利用余弦定理得MP²=MQ²+PQ²-2MQ•PQ•cos∠MQP，易求MP的长；
（2）依题意，可求得f（x）=

3

cos

πx

2

，利用正弦函数的单调性，解不等式2kπ≤

πx

2

≤2kπ+π，k∈Z，即可求得函数f（x）的单调递减区间．

解答： 解：（1）结合函数f（x）图象的对称性易知：MP=PN=NQ…（1分）
MP²=MQ²+PQ²-2MQ•PQ•cos∠MQP，
即x2=(2

3

)2+(2x)2-2×2

3

×2xcos

π

6

，…（3分）
整理得x²-4x+4=0，解得x=2，故所求MP=2…（5分）
（2）由（1）知MP=2，PQ=4，MQ=2

3

，所以MP²+MQ²=PQ²，所以△MPQ是直角三角形，且∠MPN=

π

3

..（6分）
又由MP=PN=2，∠MPN=

π

3

知，△MPN是边长为2的等边三角形…（7分）
所以MN=2，所以T=

2π

ω

=4，解得ω=

π

2

又点P到x轴的距离为

3

，所以A=

3

，于是函数f(x)=

3

cos

πx

2

…（9分）
令2kπ≤

πx

2

≤2kπ+π，k∈Z，解得4k≤x≤4k+2，k∈Z（…11分）
故函数f（x）的单调递减区间为[4k，4k+2]（k∈Z）…（14分）

点评：本题考查余弦定理的应用，考查函数的周期性、对称性，突出考查正弦函数的单调性的应用，考查推理、识图与运算能力，属于中档题．