Question

已知函数f（x）=lnx+a（2-x）
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x-3）²+y²=1相切，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出切线方程，利用l与圆（x-3）²+y²=1相切，结合点到直线的距离公式，即可求a的值；
（Ⅱ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求出函数f（x）的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域{x|x＞0}，f′（x）=

1

x

-a，
∴f′（1）=1-a  
∴在（1，f（1））处的切线为：y-a=（1-a）（x-1），即（1-a）x-y-1+2a=0，
又已知圆的圆心为（3，0），半径为1，∴

|3(1-a)-1+2a|

(1-a)2+1

=1，
解得a=1；                                                           …（7分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域{x|x＞0}，f′（x）=

1

x

-a，
当a≤0时，f′（x）=

1

x

-a＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
当a＞0，令f′（x）＞0解得0＜x＜

1

a

，令f′（x）＜0解得x＞

1

a

，
∴函数f（x）在区间（0，

1

a

）上单调递增，在区间（

1

a

，+∞）上单调递减              …（12分）
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0，函数f（x）在区间（0，

1

a

）上单调递增，在区间（

1

a

，+∞）上单调递减  …（13分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．