考点：数列与不等式的综合
专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用
分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=a
n处的导数，即
，由此得到数列递推式，分n=1和n≥2讨论得到数列{a
n}的通项公式；
（2）利用放缩法得到
＜[-]，验证n=1时不等式成立，再利用裂项相消法证得n≥2时不等式成立；
（3）把a
n=2n代入
cos，并且令b
n=
，则不等式等价于（-1）
n+1λ＜b
n．作商判断出数列{b
n}是增函数，然后利用单调性分n为奇偶数得到λ的取值范围，则非零整数λ可求．
解答：
（1）解：由
f(x)=lnx+，得
f′(x)=+，
依题意，
=f′(an)=+，即
Sn=．
当n=1时，
a1=S1=，解得a
1=2或a
1=0（舍去）．
当n≥2时，由a
n=S
n-S
n-1=
-，
得
an2-an-12=2(an+an-1)，
∵a
n＞0，
∴a
n+a
n-1≠0，则a
n-a
n-1=2，
∴{a
n}是首项为2，公差为2的等差数列，故a
n=2n；
（2）证明：∵
==＜=
=
[-]（n≥2），
∴当n≥2时，
+++…+=
+++…+＜+[(-)+(-)+…+-]+…+-]=
+[-]＜+×=
．
当n=1时，不等式左边=
=＜显然成立；
（3）解：由a
n=2n，得
cos=cos(n+1)π=(-1)n+1，
设b
n=
，则不等式等价于（-1）
n+1λ＜b
n．
==
=
=
＞1，
∵b
n＞0，
∴b
n+1＞b
n，数列{b
n}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）
n+1λ＜b
n对一切n∈N
*都成立，则
①当n为奇数时，得
λ＜(bn)min=b1=；
②当n为偶数时，得
-λ＜(bn)min=b2=，即
λ＞-．
综上，
λ∈(-，)，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．
点评：本题考查数列与不等式综合，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用放缩法证明不等式，考查了函数构造法，训练了利用函数单调性求函数的最值．属难度较大的题目．
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