Question

在△ABC中，AC•cosA=3BC•cosB，且cosC=

5

5

，则A=（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、120°

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知等式变形后，利用正弦定理化简，整理得到tanB=3tanA，得到A与B都为锐角，由cosC的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinC的值，进而求出tanC的值，即为-tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanB=3tanA代入求出tanA的值，即可确定出A的度数．

解答： 解：将AC•cosA=3BC•cosB，即bcosA=3acosB，利用正弦定理化简得：sinBcosA=3sinAcosB，
∴tanB=3tanA，
∴0＜A，B＜90°，
又cosC=

5

5

，
∴sinC=

1-cos2C

=

2 5

5

，
∴tanC=

sinC

cosC

=2，
∵A+B+c=π，
∴tan（A+B）=-tanC=-2，即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-2，
将tanB=3tanA代入，得

4tanA

1-3tan2A

=-2，
∴tanA=1或tanA=-

1

3

（不合题意，舍去），
则A=45°．
故选：B．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．