Question

已知圆G：x²+y²-2

2

x-2y=0经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M（m，0）（m＞a），倾斜角为

2

3

π的直线l交椭圆于C，D两点，若点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由圆的方程与坐标轴的交点得到椭圆的半焦距及半短轴长，结合a²=b²+c²求得半长轴长，可求椭圆的方程；设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出m的初步范围，再设出交点坐标，由点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，转化为

NC

•

ND

＞0求解m的范围，最后取交集得答案．

解答： 解：∵圆G：x²+y²-2

2

x-2y=0与x轴、y轴交点为（2

2

，0），和（0，2），
∴c=2

2

，b=2，
∴a²=b²+c²=12，
∴椭圆方程为：

x2

12

+

y2

4

=1，
设直线l的方程为：y=-

3

(x-m)，(m＞2

3

)
由

y=- 3 (x-m) x2 12 + y2 4 =1

可得：10x²-18mx+9m²-12=0．
由△=324m²-40（9m²-12）＞0，
可得：-

2 30

3

＜m＜

2 30

3

，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x1+x2=

9m

5

，x1•x2=

9m2-12

10

，

NC

•

ND

=（x1-3，y1）•（x2-3，y2）=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂
=4x1x2-（3m+3）（x1+x2）+9+3m2＞0．
化简得：2m²-9m+7＞0，解得：m＞

7

2

∴m的取值范围是(

7

2

，

2 30

3

)，
故答案为：(

7

2

，

2 30

3

)

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法，训练了利用向量法求解与圆锥曲线有关的问题，“设而不求”的解题思想使问题的求解得到了简化，是高考试卷中的压轴题．