Question

13．数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=3，3a_n+2=2a_n+1+a_n，求a_n．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，得到等比数列{a_n+1-a_n}，求其通项公式后，再利用累加法求a_n．

解答 解：由3a_n+2=2a_n+1+a_n，得
3（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=3，
∴a₂-a₁=2≠0，
则数列{a_n+1-a_n}是以2为首项，以-$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=2×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．
即${a}_{2}-{a}_{1}=2×（-\frac{1}{3}）^{0}$，
${a}_{3}-{a}_{2}=2×（-\frac{1}{3}）^{1}$，
…
${a}_{n}-{a}_{n-1}=2×（-\frac{1}{3}）^{n-2}$（n≥2）．
上边n-1个等式相加得：${a}_{n}-{a}_{1}=2[（-\frac{1}{3}）^{0}+（-\frac{1}{3}）^{1}+…+（-\frac{1}{3}）^{n-2}]$
=2×$\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}]$．
∴${a}_{n}=\frac{5}{2}+\frac{（-1）^{n}}{{3}^{n-2}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了类加法求数列的通项公式，是中档题．