Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}$n．
（1）求{a_n}的通项公式；    
（2）求$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}$n．S_n-1=$\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$，（n≥2）两式相减得a_n=3n；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3n×3（n+1）}$=$\frac{1}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$累加即可．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}$n．
∴S_n-1=$\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$，（n≥2），
两式相减得a_n=3n，
又a₁=3，满足上式，∴a_n=3n，（n∈N⁺）．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3n×3（n+1）}$=$\frac{1}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{9}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{9（n+1）}$．

点评 本题考查了数列的递推式，裂项求和，属于中档题．