Question

9．圆O的直径为BC，点A是圆周上异于B，C的一点，且|AB|•|AC|=1，若点P是圆O所在平面内的一点，且$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值为76．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0计算$\overrightarrow{AP}$²，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$，从而计算出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$．利用基本不等式得出最大值．

解答 解：由题意可知AB⊥AC，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0，
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，∴${\overrightarrow{AP}}^{2}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}$+$\frac{81{\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}$=82，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）$•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}|}$=|AB|，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）$•\overrightarrow{AC}$=9|AC|，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}$）=${\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AP}$=82-（|AB|+9|AC|），
∵|AB|+9|AC|≥2$\sqrt{9|AB||AC|}$=6，
∴82-（|AB|+9|AC|）≤82-6=76．
故答案为：76．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．