Question

19．如图，已知动直线l过点$P（0，\frac{1}{2}）$，且与圆O：x²+y²=1交于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为$\sqrt{3}$，求△OAB的面积；
（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA²+CB²的取值范围；
（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为直线l的斜率为$\sqrt{3}$，所以直线l$：y=\sqrt{3}x+\frac{1}{2}$，利用弦长、半径、弦心距的关系，求得弦长及△OAB的高，即可求出面积．
 （2）因为直线l的斜率为0，所以可知$A（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$、$B（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，设点C（x，y），则x²+y²=1，又$C{A^2}+C{B^2}={（{x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）^2}+{（{y-\frac{1}{2}}）^2}+{（{x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）^2}+{（{y-\frac{1}{2}}）^2}=2（{{x^2}+{y^2}}）+2-2y$=4-2y，又y∈[-1，1]，
即可得CA²+CB²的取值范围．
（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因直线l不与y轴重合，设直线l$：y=kx+\frac{1}{2}$，代入圆O得$：（1+{k^2}）{x^2}+kx-\frac{3}{4}=0$，所以${x_1}+{x_2}=-\frac{k}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{{\frac{3}{4}}}{{1+{k^2}}}$（*）      由AQ与BQ的斜率互为相反数，可得$：2k{x_1}{x_2}=（t-\frac{1}{2}）（{x_1}+{x_2}）$，即求得t；
解法二：若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d₁，点B到y轴的距离d₂满足$：\frac{QA}{d_1}=\frac{QB}{d_2}$，即$\frac{{\sqrt{x_1^2+{{（t-{y_1}）}^2}}}}{{|{x_1}|}}=\frac{{\sqrt{x_2^2+{{（t-{y_2}）}^2}}}}{{|{x_2}|}}$，化简可得$：2k{x_1}{x_2}=（t-\frac{1}{2}）（{x_1}+{x_2}）$，同时求得t．

解答 解：（1）因为直线l的斜率为$\sqrt{3}$，所以直线l$：y=\sqrt{3}x+\frac{1}{2}$，
则点O到直线l的距离$d=\frac{{|\frac{1}{2}|}}{2}=\frac{1}{4}$，…（2分）
所以弦AB的长度$|AB|=2\sqrt{1-{{（{\frac{1}{4}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
所以${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{4}•\frac{{\sqrt{15}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{16}$．…（4分）
（2）因为直线l的斜率为0，所以可知$A（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$、$B（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，…（6分）
设点C（x，y），则x²+y²=1，
又$C{A^2}+C{B^2}={（{x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）^2}+{（{y-\frac{1}{2}}）^2}+{（{x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）^2}+{（{y-\frac{1}{2}}）^2}=2（{{x^2}+{y^2}}）+2-2y$，…（8分）
所以CA²+CB²=4-2y，又y∈[-1，1]，
所以CA²+CB²的取值范围是[2，6]．…（9分）
（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因直线l不与y轴重合，设直线l$：y=kx+\frac{1}{2}$，…（10分）
代入圆O得$：（1+{k^2}）{x^2}+kx-\frac{3}{4}=0$，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{k}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{{\frac{3}{4}}}{{1+{k^2}}}$（*）                  …（12分）
若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的定义，AQ与BQ的斜率互为相反数
有$\frac{{{y_1}-t}}{x_1}+\frac{{{y_2}-t}}{x_2}=0$，又${y_1}=k{x_1}+\frac{1}{2}$，${y_2}=k{x_2}+\frac{1}{2}$，
化简可得$：2k{x_1}{x_2}=（t-\frac{1}{2}）（{x_1}+{x_2}）$，…（14分）
代入（*）式得$：\frac{3}{2}k=（t-\frac{1}{2}）k$，因为直线l任意，故$\frac{3}{2}=t-\frac{1}{2}$，
即t=2，即Q（0，2）…（16分）
解法二：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因直线l不与y轴重合，设直线l$：y=kx+\frac{1}{2}$，…（10分）
代入圆O得$：（1+{k^2}）{x^2}+kx-\frac{3}{4}=0$，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{k}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{{\frac{3}{4}}}{{1+{k^2}}}$（*）                 …（12分）
若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d₁，点B到y轴的距离d₂满足$：\frac{QA}{d_1}=\frac{QB}{d_2}$，即$\frac{{\sqrt{x_1^2+{{（t-{y_1}）}^2}}}}{{|{x_1}|}}=\frac{{\sqrt{x_2^2+{{（t-{y_2}）}^2}}}}{{|{x_2}|}}$，
化简可得$：2k{x_1}{x_2}=（t-\frac{1}{2}）（{x_1}+{x_2}）$，…（14分）
代入（*）式得$：\frac{3}{2}k=（t-\frac{1}{2}）k$，因为直线l任意，故$\frac{3}{2}=t-\frac{1}{2}$，
即t=2，即Q（0，2）…（16分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了方程思想、转化思想、数形结合思想，考查了运算能力，属于中档题．