Question

1．已知函数f（x）=$\frac{lnx+（x-t）^{2}}{x}$，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，$\frac{9}{4}$]
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立?对任意的x∈[1，2]，$\frac{2{x}^{2}-2tx+1}{x}＞0$恒成立，
?对任意的x∈[1，2]，2x²-2tx+1＞0恒成立，?t＜$\frac{2{x}^{2}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}=x+\frac{\frac{1}{2}}{x}$恒成立，求出x+$\frac{\frac{1}{2}}{x}$在[1，2]上的最小值即可．

解答 解：∵$f′（x）=\frac{{x}^{2}-lnx+1-{t}^{2}}{{x}^{2}}$
∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立?对任意的x∈[1，2]，$\frac{2{x}^{2}-2tx+1}{x}＞0$恒成立，
?对任意的x∈[1，2]，2x²-2tx+1＞0恒成立，?t＜$\frac{2{x}^{2}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}=x+\frac{\frac{1}{2}}{x}$恒成立，
又g（x）=x+$\frac{\frac{1}{2}}{x}$在[1，2]上单调递增，∴$g（x）_{min}=g（1）=\frac{3}{2}$，
∴t＜$\frac{3}{2}$．
故选：B

点评 本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题．