Question

16．在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x²+y²=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到曲线C．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线θ=α（ρ≥0）与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）
（2）曲线C的极坐标方程为极坐标方程ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，令θ=α，则极坐标系中A$（\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}α}}}，α）$，B（$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，π+α），则|AB|=2×$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，即可求解．

解答 解：（1）圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）
根据题意，曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）
（2）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）⇒$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
⇒$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{4}+{ρ}^{2}si{n}^{2}θ=1$⇒极坐标方程ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$
 令θ=α，则极坐标系中A$（\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}α}}}，α）$，B（$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，π+α）
则|AB|=2×$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，
当α=0时，|AB|取最大值为4．

点评 本题考查了圆、椭圆的参数方程，椭圆的极坐标方程，解题关键是弄清极径的含义，属于中档题．