Question

8．已知等差数列{a_n}满足a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1），其中f（x）=x²-4x+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当d＞0时，设${b_n}=\frac{{{a_n}+4}}{2^n}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+a₃=2a₂=0⇒f（x+1）+f（x-1）=0，即x²-4x+3=0，得：x=1或3；当x=1时，d=-2，a_n=-2n+4；当x=3时，d=2，a_n=2n-4
（2）当d＞0时，a_n=2n-4，${b_n}=n•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，利用错位相减法求和．

解答 解：（1）由a₁+a₃=2a₂=0⇒f（x+1）+f（x-1）=0，即x²-4x+3=0，
得：x=1或3…（3分）
当x=1时，d=-2，a_n=-2n+4；
当x=3时，d=2，a_n=2n-4…（6分）
（2）当d＞0时，a_n=2n-4，${b_n}=n•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$…（8分）
T_n=$1•\frac{1}{{2}^{0}}+2•\frac{1}{{2}^{1}}+3•\frac{1}{{2}^{2}}+…+n•\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1$•\frac{1}{2}$+2$•\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n$•\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减得$\frac{1}{2}{T}_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-n•\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
 得${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$…（12分）．

点评 本题考查了数列的递推式，考查了错位相减法求和，属于中档题．