Question

3．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x₁+x₂=y₁+y₂，利用点差法求得直线l的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k₁•k₂为定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a²=2b²，
由P（2，1）在椭圆上，则$\frac{4}{2{b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
解得：b²=3，则a²=6，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
由直线的斜率为1，则x₁+x₂=y₁+y₂，
由点A，B在椭圆上，则$\frac{{x}_{1}^{2}}{6}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{6}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$，
两式相减整理得：$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{6}+\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{3}=0$，x₁-x₂+2（y₁-y₂）=0，则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
设直线l的方程y=-$\frac{1}{2}$x+t，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{1}{2}x+t}\end{array}\right.$，整理得：3x²-4tx+4t²-12=0，
则x₁+x₂=$\frac{4t}{3}$，x₁x₂=$\frac{4（{t}^{2}-3）}{3}$，
则k₁•k₂=$\frac{（{y}_{1}-1）（{y}_{2}-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{（{x}_{1}{x}_{2}）-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$，
=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{1}{x}_{2}-（\frac{t-1}{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-2t+{t}^{2}+1}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=$\frac{\frac{{t}^{2}-3}{3}-（\frac{t-1}{2}）（\frac{4t}{3}）-2t+{t}^{2}+1}{\frac{4（{t}^{2}-3）}{3}-2×（\frac{4t}{3}）+4}$=$\frac{1}{2}$，
∴k₁•k₂为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．