Question

12．在二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ展开式中，前三项的系数成等差数列．
求：（1）展开式中各项系数和；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由 题 意 得 2${∁}_{n}^{1}$×$\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}$×$\frac{1}{4}$，化为：n²-9n+8=0，解得n=8．在 $（\sqrt{x}+\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{8}$中，令x=1，可得展开式中各项系数和．
（Ⅱ） 设 展 开 式 中 第 r+1 项 系 数 最 大，T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$${x}^{4-\frac{5r}{6}}$，则$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得r即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由 题 意 得 2${∁}_{n}^{1}$×$\frac{1}{2}$=1+${∁}_{n}^{2}$×$\frac{1}{4}$，
化为：n²-9n+8=0，解得n=1（舍去）或8．
∴n=8．
在 $（\sqrt{x}+\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{8}$中，令x=1，可得展开式中各项系数和=$（\frac{3}{2}）^{8}$=$\frac{6561}{256}$．
（Ⅱ） 设 展 开 式 中 第 r+1 项 系 数 最 大，
则 T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\sqrt{x}）^{8-r}$$（\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}$${x}^{4-\frac{5r}{6}}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r-1}{∁}_{8}^{r-1}}\\{（\frac{1}{2}）^{r}{∁}_{8}^{r}≥（\frac{1}{2}）^{r+1}{∁}_{8}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得 2≤r≤3．
因 此 r=2 或 3，即 展 开 式 中 第 3 项 和 第 4 项 系 数 最 大，且 T₃=$（\frac{1}{2}）^{2}{∁}_{8}^{2}$${x}^{\frac{7}{3}}$=7${x}^{\frac{7}{3}}$．
T₄=$（\frac{1}{2}）^{3}{∁}_{8}^{3}{x}^{\frac{3}{2}}$=7${x}^{\frac{3}{2}}$．
∴展开式中系数最大的项分别为：7${x}^{\frac{7}{3}}$，7${x}^{\frac{3}{2}}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．