Question

2．（1）若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$，求实数m的取值范围．
（2）已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．
（2）展开（ax+by）（bx+ay）利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由|x-m|＜1得-1＜x-m＜1，即m-1＜x＜m+1，
若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
则（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）?（m-1，m+1），
即$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤\frac{1}{3}}\\{m+1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{4}{3}}\\{m≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{4}{3}$，
即实数m的取值范围是$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{4}{3}$．
（2）证明：∵a，b是正数，且a+b=1，
∴（ax+by）（bx+ay）=abx²+（a²+b²）xy+aby²
=ab（x²+y²）+（a²+b²）xy  
≥ab?2xy+（a²+b²）xy  
=（a+b）²xy
=xy，
∴（ax+by）（bx+ay）≥xy成立．

点评 本题主要考查不等式的应用和证明，利用绝对值的性质结合不等式的证明方法是解决本题的关键．