Question

10．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且${S_n}=-2{n^2}+15n$，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）n为何值时，S_n取得最大值并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据二次函数的性质，即可求得S_n的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：${S_n}=-2{n^2}+15n$，当n=1时，a₁=S₁=-2+15=13，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-2n²+15n）-[-2（n-1）²+15（n-1）]=17-4n，
当n=1时，显然成立，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=17-4n；
（2）S_n=-2n²+15n=-2（n²-$\frac{15}{2}$n+$\frac{225}{16}$-$\frac{225}{16}$），
=-2（n-$\frac{15}{4}$）²+$\frac{225}{8}$，
由n∈N*，则n=4时，S_n取得最大值28，
∴当n为4时，S_n取得最大值，最大值28．

点评 本题考查数列通项公式的求法，考查二次函数的性质，等差数列前n项和的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．