Question

1．已知i是虚数单位，且（1+2i）$\overline{z}$=3+i．
（1）求z；
（2）若z是关于x的方程x²+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简$\overline{z}$，则z可求；
（2）把1+i代入方程x²+px+q=0，化简根据复数相等即可得答案．

解答 解：（1）由（1+2i）$\overline{z}$=3+i．
得$\overline{z}=\frac{3+i}{1+2i}=\frac{（3+i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{5-5i}{5}=1-i$，
则z=1+i；
（2）∵z=1+i是关于x的方程x²+px+q=0的一个根，
∴（1+i）²+p（1+i）+q=0，即p+q+（2+p）i=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{p+q=0}\\{2+p=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-2}\\{q=2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．