Question

11．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，E的右焦点与抛物线C：y²=12x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．

解答 解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
E的右焦点（c，0）与抛物线C：y²=12x的焦点（3，0）重合，
可得c=3，a=2$\sqrt{3}$，b²=3，椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
抛物线的准线方程为：x=-3，
代入椭圆方程，解得y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以A（-3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴|AB|=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．