Question

7．.已知函数$f（x）=\frac{1}{x}+lnx$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试证明：${（{1+\frac{1}{n}}）^{n+1}}＞e$（e=2.718…，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）要证$ln（{1+\frac{1}{n}}）＞\frac{1}{n+1}$只需证$lnx＞1-\frac{1}{x}（{1＜x≤2}）$，根据函数的单调性得到$lnx≥1-\frac{1}{x}$，从而证出结论即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{x}+lnx$，x∈（0，+∞），
则$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}$，解f'（x）＜0，
得0＜x＜1，解f'（x）＞0，得x＞1．
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
单调递增区间为（1，+∞）．
（2）${（{1+\frac{1}{n}}）^{n+1}}＞e?（{n+1}）ln（{1+\frac{1}{n}}）＞1?ln（{1+\frac{1}{n}}）＞\frac{1}{n+1}$，
令$1+\frac{1}{n}=x（{1＜x≤2}）$，则$\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{x}$，
∴要证$ln（{1+\frac{1}{n}}）＞\frac{1}{n+1}$只需证$lnx＞1-\frac{1}{x}（{1＜x≤2}）$，
由（1）知f（x）_min=f（1），
∴$f（x）=\frac{1}{x}+lnx≥f（1）=1$，即$lnx≥1-\frac{1}{x}$，
∵1＜x≤2，
∴$lnx＞1-\frac{1}{x}$，从而${（{1+\frac{1}{n}}）^{n+1}}＞2$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．